増分結果
特定のメディア チャネル \(q\)について、増分結果は次のように定義されます。
\[\text{IncrementalOutcome}_q = \text{IncrementalOutcome} \left(\Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M]} \Bigr\}, \Bigl\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \Bigr\} \right)\]
ここで
- \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M]} \right\}\) は、観測されたメディア値です
- \(\left\{ x_{g,t,i}^{[M] (0,q)} \right\}\) は、チャネル \(q\)を除くすべてのチャネルで観測されたメディア値を表します。常に 0 に設定されます。具体的には次のようになります。
- \(x_{g,t,q}^{[M] (0,q)}=0\ \forall\ g,t\)
- \(x_{g,t,i}^{[M](0,q)}=x_{g,t,i}^{[M]}\ \forall\ g,t,i \neq q\)
費用対効果
チャネル \(q\) の費用対効果は次のように定義されます。
\[\text{ROI}_q = \dfrac{\text{IncrementalOutcome}_q}{\text{Cost}_q}\]
ここで \(\text{Cost}_q= \sum\limits _{g,t} \overset \sim x^{[M]}_{g,t,q}\)となります
費用対効果の分母は、指定された期間のメディア費用を表します。この期間は、増分結果が定義されている期間と連動します。そのため、分子の増分結果には、この期間の前のメディア マーケティングの遅延効果が含まれ、同様に、この期間中のメディア マーケティングの将来の効果は除外されます。そのため、分子の増分結果は、分母の費用と完全には連動しません。ただし、このずれは、比較的長い期間ではそれほど重要ではありません。
反事実的メディア シナリオ（\(\left\{ x_{g,t,i}^{[M](0,q)} \right\}\)）は、実際にはデータに反映されない場合があります。その場合、反事実を推測するには、モデルの仮定に基づく外挿が必要です。
応答曲線
増分結果の定義を一般化すると、チャネル \(q\) の応答曲線は、チャネル \(q\)の費用の関数として増分結果を返す関数として定義されます。
\[\text{IncrementalOutcome}_q (\omega \cdot \text{Cost}_q) = \text{IncrementalOutcome} \left(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}, \left\{ x^{[M](0,q)}_{g,t,i} \right\}\right)\]
ここで、 \(\left\{ x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i} \right\}\) は、チャネル \(q\)を除くすべてのチャネルで観測されたメディア値を表し、常に係数 \(\omega\) で乗算されます。具体的には次のようになります。
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,q}=\omega \cdot x^{[M]}_{g,t,q}\ \forall\ g,t\)
- \(x^{[M](\omega,q)}_{g,t,i}=x^{[M]}_{g,t,i} \forall\ g,t,i \neq q\)
限界費用対効果（mROI）
チャネル \(q\) の限界費用対効果（mROI）は次のように定義されます。
ここで、 \(\delta\) はごくわずかな量です（ \(0.01\)など）。
なお、応答曲線と限界費用対効果の定義では、メディア単位あたりの費用は、過去のメディア単位あたりの費用の平均値と同じになると暗黙的に仮定されています。