結果は、Meridian が介入群変数の因果効果を測定する主な指標です。通常、結果は収益ですが、KPI が収益以外で revenue_per_kpi データが利用できない場合は、KPI そのものが結果であると定義されます。
一般に、費用対効果（ROI）は、メディア チャネルによって生み出された結果の増分をその費用で割ったものと定義できます。つまりメディアは、推定する結果に因果的効果をもたらします。原則に沿って行うには、因果推論の言葉で「結果の増分」を定義する必要があります。
デモ用に、リーチとフリークエンシーのデータが有料メディアまたはオーガニック メディアのどのチャネルにもない場合を考えてみましょう。入力データの表記法を使用すると、変換されたメディア ユニットの観測値の配列は \(\{x^{[M]}_{g,t,i}\}\)、オーガニック メディア ユニットの観測値の配列は \(\{x^{[OM]}_{g,t,i}\}\) となり、メディア以外の介入群の観測値の配列は \(\{x^{[N]}_{g,t,i}\}\)、その全体は \(\{x_{g,t,i}\}\) で表されます。この集合には、すべての有料メディア チャネルおよびオーガニック メディア チャネルの値と、すべての \(g=1,\dots G \) と \(t=-\infty,\dots,T \) のメディア以外の介入群の値が含まれますが、実際に考慮する必要があるのは \(t=1-L,2-L,\dots T\) のみです。ここで \(L\) は、メディア効果の想定される最大遅延です（ここでは元のスケール \(\overset{\cdot \cdot}{x}_{g,t,m}\) ではなく、変換後のスケール \(x_{g,t,i}\) のユニットを参照してください。元のユニットと変換後のユニットの間には 1 対 1 の対応関係があるため、実質的な違いはありません）。
広告主様の実際の施策が \(\{x_{g,t,i}\}\) であったとしても、代わりに \(\{x^{(\ast)}_{g,t,i}\}\) などの別のメディア配列を実行した場合の結果を推測できます。この結果は、確率変数の集合 \(\{ \overset \sim Y_{g,t}^{ (\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \}) }\}\) として表すことができます。因果推論の文献では、集合 \(\{ \overset \sim Y_{g,t}^{ (\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \}) }\}\) は「潜在的結果」、値の集合 \(\{ x^{(\ast)}_{g,t,i} \}\) は「反事実的シナリオ」と呼ばれています。
因果推論の文献では、\(Y^{(1)}\) や \(Y^{(0)}\) などの表記を使用して、パターン群とコントロール群の反事実的シナリオにおける潜在的結果を表すことがよくあります。MMM も同様ですが、潜在的結果が値の 2 次元配列であり、パターン群が値の 3 次元配列であるため、少し複雑です。配列 \(\{ \overset \sim Y_{g,t}^{ (\{ x_{g,t,i}^{(\ast)} \}) }\}\) のすべての潜在的結果が、配列 \(\{ x^{(\ast)}_{g,t,i} \}\) のすべての値に実際に依存しているわけではありません。たとえば、特定の期間のメディアが過去の売上に影響を与えることはできません。しかし、各期間について、それぞれの潜在的結果がどのメディア値に依存しているかを正確に示そうとするよりも簡単であるため、この表記が推奨されます。
\(\{ x^{(1)}_{g,t,i} \}\) と \(\{ x^{(0)}_{g,t,i} \}\) などの 2 つの反事実的メディア シナリオについて、実際の結果の増分は次のように定義できます。
ただし、データから \(\overset \sim Y_{g,t}^{ (\{ x_{g,t,i}^{(1)} \}) }\) と \(\overset \sim Y_{g,t}^{ (\{ x_{g,t,i}^{(0)} \}) }\) の同時分布に関する情報を得ることはできないため、この量は推定できません。観測できるのは 1 つの潜在的結果、つまり \(\overset \sim Y_{g,t}^{ \left( \left\{ x_{g,t,i} \right\}\right) }\) のみです（直感的には、 \(\{ x^{(1)}_{g,t,i} \}\) が \(\{ x^{(0)}_{g,t,i} \}\) へ任意に近づくと、潜在的結果の \(\overset \sim Y_{g,t}^{ (\{ x_{g,t,i}^{(1)} \}) }\) と \(\overset \sim Y_{g,t}^{ (\{ x_{g,t,i}^{(0)} \}) }\) は同じ値に近づくはずですが、同時分布をより一般的に指定するには、このような直感では不十分です）。
代わりに、 \(\{ x^{(1)}_{g,t,i} \}\) と \(\{ x^{(0)}_{g,t,i} \}\) の 2 つの反事実的メディア シナリオについて、結果の増分を次のように定義します。
ここで、 \(\{z_{g,t,i}\}\) は、コントロール変数の集合の観測値を表します。この略記法は、期待値が、これらの値を取るコントロール確率変数を条件としていることを示すために使用します。MMM 回帰モデルと、慎重に選択した制御変数の集合を使用することで、この条件付き期待値を推定できます。詳細については、ROI、mROI、応答曲線をご覧ください。
通常、 \(g=1,\dots G\) と \(t=1,\dots T\) で合計を得ますが、これらの値の部分集合に対して結果の増分を定義することもできます。