Paramétrisation du ROI, du ROIm et de la contribution

Meridian peut être reparamétré de sorte que le ROI de chaque canal soit un paramètre du modèle. Vous pouvez ainsi intégrer des informations sur le ROI a priori telles que des tests d'incrémentalité, des benchmarks du secteur ou d'autres informations sur le domaine. Vous pouvez également utiliser des a priori moins informatifs. Les a priori de ROI permettent de traiter tous les canaux média de manière égale. Ils permettent également d'appliquer une régularisation égale sur tous les canaux lorsque la régularisation est nécessaire pour améliorer la convergence du modèle ou la qualité de l'ajustement. Pour en savoir plus sur cette méthode de calibration, consultez Calibration du modèle mix média avec des a priori bayésiens.

Vous pouvez également reparamétrer Meridian de sorte que le ROIm de chaque canal soit un paramètre du modèle. Régulariser le ROIm selon une valeur commune à tous les canaux a pour effet de régulariser également les réaffectations de budget recommandées obtenues à partir de l'optimisation du budget.

Enfin, Meridian peut être reparamétré pour que la proportion de contribution (résultat total incrémental divisé par le résultat total observé) soit un paramètre du modèle. La seule différence entre l'a priori de contribution et l'a priori de ROI est le dénominateur : celui de l'a priori de contribution est le résultat total observé, tandis que le dénominateur de l'a priori de ROI correspond aux dépenses totales sur le canal.

Les re-paramétrisations du modèle de ROI, de ROIm et de contribution sont dérivées comme suit.

ROI

Pour n'importe quel canal média \(m\), le résultat incrémental généré par ce canal est

$$ \begin{align} \text{IncrementalOutcome}_m &= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right) \\ &\qquad - L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{0 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right)\\ &= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \\ &= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ , \end{align} $$

où le terme $M_{g,t,m}$ est défini comme

$$ M_{g,t,m} =\ u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \ , $$

et \(s = \sqrt{\frac{1}{GT-1} \sum\limits_{g,t} \left( y^\dagger_{g,t}-m \right)^2}\) est l'écart type des valeurs de KPI à l'échelle de la population, tel que défini dans Données d'entrée.

La relation entre $\beta_{g,m}$ et $\text{ROI}_m$ est donnée par l'équation suivante :

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\ &= \text{ROI}_m \cdot \text{Cost}_m \\ &= \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \ . \end{align*} $$

$\beta_{g,m}$ peut maintenant être reparamétré comme

$$ \begin{align*} \beta_{g,m} &= \begin{cases} \text{exp}(\beta_m + \eta_m Z_{g,m}) &,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\ \beta_m + \eta_m Z_{g,m} &,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ , \end{cases} \end{align*} $$

où \(Z_{g,m}\) présente une distribution a priori normale standard indépendante de tous les autres paramètres du modèle. En remplaçant cette expression par \(\beta_{g,m}\), vous obtenez l'équation suivante :

$$ \begin{align*} \beta_m &= \begin{cases} \text{log}\left( \text{ROI}_m\sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \right) - \text{log}\left( \sum\limits_{g,t}exp\left( \eta_m Z_{g,m} \right) M_{g,t,m}\right) &, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\ \dfrac{ \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} - \eta_m \sum\limits_{g,t}Z_{g,m}M_{g,t,m} }{ \sum\limits_{g,t} M_{g,t,m} } &, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ . \end{cases} \\ \end{align*} $$

Par conséquent, $\beta_m$ est une fonction des paramètres aléatoires\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\) et des données\((s, u_{g,t}^{(y)}, \{p_g\}_{g=1}^G, \{x_{g,t,m}\}_{g,t}, \{\tilde{x}_{g,t,m}\}_{g,t})\). Il existe une correspondance un à un entre $\beta_m$ et $\text{ROI}_m$ si toutes les autres valeurs sont fixes. Par conséquent, le modèle peut être reparamétré à l'aide de $\text{ROI}_m$ au lieu de $\beta_m$. Voici quelques points importants à noter :

  • Toute distribution a priori spécifiée par l'utilisateur peut être placée sur les paramètres $\text{ROI}_m$.
  • Même si $\beta_m$ n'est plus un paramètre de modèle, il peut toujours être calculé pour chaque tirage a priori ou a posteriori (Markov Chain Monte Carlo), car il s'agit d'une fonction des autres paramètres.
  • Lorsque media_effects_dist = Normal, $\text{ROI}_m$ peut prendre n'importe quelle valeur dans \((-\infty, +\infty)\). Lorsque media_effects_dist = LogNormal, $\text{ROI}_m$ peut prendre n'importe quelle valeur dans \((0, +\infty)\).

La re-paramétrisation du modèle en termes de ROI ne modifie le modèle qu'en termes de définition des distributions a priori. Lorsque la paramétrisation du ROI est utilisée, la distribution a priori indépendante est placée sur \((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\) plutôt que sur \((\beta_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\). Dans les deux cas, les paramètres \(\{Z_{g,m}\}^G_{g=1}\)sont attribués aux a priori normaux standards qui sont indépendants les uns des autres et de tous les autres paramètres du modèle. La paramétrisation du ROI induit implicitement une distribution a priori sur \(\beta_m\). Toutefois, cette distribution n'est plus indépendante de \((\alpha_m, \text{slope}_m, ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\).

Par défaut, Meridian définit le numérateur de l'a priori de ROI, $IncrementalOutcome_m$, comme une somme calculée sur toutes les données géographiques et toutes les périodes. Toutefois, il peut également être défini comme une somme sur un sous-ensemble de périodes en utilisant les arguments roi_calibration_period et rf_roi_calibration_period. Il peut y avoir des cas particuliers où il est préférable de ne considérer qu'un sous-ensemble, par exemple lors de la calibration de l'a priori de ROI avec un test qui couvre une période spécifique dans la fenêtre de modélisation MMM. Pour en savoir plus, consultez la section 3.4 de Calibration du modèle mix média avec des a priori bayésiens. Dans la plupart des cas, nous vous recommandons de définir l'estimation sur toutes les périodes et d'utiliser tous les résultats de test disponibles comme facteur de prise de décision dans une stratégie plus globale, comme indiqué dans A priori de ROI et calibration.

Canaux disposant de données de couverture et de fréquence

La même re-paramétrisation peut être effectuée pour les canaux avec des données de couverture et de fréquence en définissant

$$ M_{g,t,n} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{Adstock}\left( \left\{ r_{g,t-\ell,n} \cdot \text{Hill}\left( f_{g,t-\ell,n};\ ec^{(rf)}_n, \text{slope}^{(rf)}_n \right) \right\}^L_{\ell=0}\ ;\ \alpha^{(rf)}_n \right) \ . $$

Tout le reste est identique, la dérivation n'est donc pas répétée.

ROI marginal

Vous pouvez également spécifier une distribution a priori pour le ROI marginal au lieu du ROI.

$$ \begin{alignat}{2} \text{MarginalIncrementalOutcome}_m &= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left( \{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \right) \\ &\quad - \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\right) \\ &= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \biggl\{ \text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \\ & \hspace{8em} - \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \biggr\} \\ &= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ , \end{alignat} $$

où le terme $M_{g,t,m}$ est maintenant défini comme

$$ \begin{align} M_{g,t,m} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \biggl\{ &\text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L; \ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\\ &- \text{HillAdstock}\left( \{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \biggr\} \ . \end{align} $$

La relation entre $\beta_{g,m}$ et $\text{MarginalROI}_m$ est donnée par l'équation suivante :

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{MarginalIncrementalOutcome}_m \\ &= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \text{Cost}_m) \\ &= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m}) \ . \end{align*} $$

L'équation précédemment indiquée pour \(\beta_m\) selon les a priori de ROI reste valable selon les a priori de ROI marginal si vous procédez comme suit :

  1. Utilisez cette autre définition de \(M_{g,t,m}\).
  2. Remplacez \(\text{ROI}_m\) par \(0.01 \cdot \text{MarginalROI}_m\).

Contribution

La relation entre $\beta_{g,m}$ et $\text{Contribution}_m$ est donnée par l'équation suivante :

$$ \begin{align*} \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \text{ObservedOutcome} \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{y}_{g,t} \\ &= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{u}^{[Y]}_{g,t} \cdot \ddot{y}_{g,t}\ . \end{align*} $$

Tous les autres éléments restent les mêmes que pour les a priori du ROI.

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