Meridian 可重新形参化，使每个渠道的投资回报率都成为一个模型形参。这样，您就可以纳入先验投资回报率信息，如增量实验、行业基准或其他领域知识。或者，您也可以使用信息量较少的先验。投资回报率先验提供了一种平等对待所有媒体渠道的方式。此外，如果需要通过正则化来提高模型的收敛性或拟合优度，投资回报率先验可提供一种在不同渠道间应用同等正则化的方式。如需详细了解此校准方法，请参阅“Media Mix Model Calibration with Bayesian Priors”（使用贝叶斯先验进行媒体组合模型校准）一文。
或者，您可以重新形参化 Meridian，使每个渠道的边际投资回报率 (mROI) 都成为一个模型形参。将边际投资回报率正则化为各个渠道中的共同值，还会对通过预算优化获得的建议预算调整进行正则化。
最后，Meridian 可重新形参化，使贡献比例（总增量结果除以总观测结果）成为模型形参。贡献率先验和投资回报率先验之间的唯一区别在于分母：贡献率先验的分母是总观测结果，而投资回报率先验的分母是总渠道支出。
投资回报率、边际投资回报率和贡献率模型重新形参化的推导过程如下。
投资回报率
对于任何媒体渠道 \(m\)，由该渠道带来的增量结果为
$$
\begin{align}
\text{IncrementalOutcome}_m
&= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)
\right) \\
&\qquad - L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{0 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m
\right) \right)\\
&= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \\
&= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ ,
\end{align}
$$
其中，$M_{g,t,m}$ 一词的定义如下：
$$
M_{g,t,m} =\ u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \ ,
$$
\(s = \sqrt{\frac{1}{GT-1} \sum\limits_{g,t} \left( y^\dagger_{g,t}-m
\right)^2}\) 是按人口比例调整的 KPI 值的标准差（具体定义见输入数据）。
$\beta_{g,m}$ 与 $\text{ROI}_m$ 之间的关系可用以下等式表示：
$$
\begin{align*}
\sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\
&= \text{ROI}_m \cdot \text{Cost}_m \\
&= \text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \ .
\end{align*}
$$
现在，$\beta_{g,m}$ 可以重新形参化为
$$
\begin{align*}
\beta_{g,m} &=
\begin{cases}
\text{exp}(\beta_m + \eta_m Z_{g,m})
&,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\
\beta_m + \eta_m Z_{g,m}
&,\ \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ ,
\end{cases}
\end{align*}
$$
其中 \(Z_{g,m}\) 具有与所有其他模型形参无关的标准正态先验分布。将此表达式代入 \(\beta_{g,m}\)后，可得出以下等式：
$$
\begin{align*}
\beta_m &= \begin{cases}
\text{log}\left( \text{ROI}_m\sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} \right) -
\text{log}\left( \sum\limits_{g,t}exp\left( \eta_m Z_{g,m} \right)
M_{g,t,m}\right)
&, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{LogNormal} \\
\dfrac{
\text{ROI}_m \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m} -
\eta_m \sum\limits_{g,t}Z_{g,m}M_{g,t,m}
}{
\sum\limits_{g,t} M_{g,t,m}
}
&, \text{if}\ \texttt{media_effects_dist} = \texttt{Normal} \ . \end{cases} \\
\end{align*}
$$
因此，$\beta_m$ 是随机形参\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m, \{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\) 和数据\((s, u_{g,t}^{(y)}, \{p_g\}_{g=1}^G, \{x_{g,t,m}\}_{g,t},
\{\tilde{x}_{g,t,m}\}_{g,t})\)的函数。如果所有其他值都是固定的，则 $\beta_m$ 与 $\text{ROI}_m$ 之间存在一一对应关系。因此，可以用 $\text{ROI}_m$ 代替 $\beta_m$ 来对模型进行重新形参化。请注意以下几个要点：
- $\text{ROI}_m$ 形参可以采用用户指定的任何先验分布。
- 尽管 $\beta_m$ 不再是模型形参，但由于它是其他形参的函数，因此仍可以针对每个马尔可夫链蒙特卡洛 (MCMC) 先验或后验抽样来计算它。
- 当
media_effects_dist = Normal 时，$\text{ROI}_m$ 可以取 \((-\infty, +\infty)\)中的任意值。当 media_effects_dist = LogNormal 时，$\text{ROI}_m$ 可以取 \((0, +\infty)\)中的任意值。
根据投资回报率对模型重新形参化，只是改变了模型的先验分布定义方式。使用投资回报率形参化时，独立先验分布将置于\((\text{ROI}_m, \alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\) （而非 \((\beta_m,
\alpha_m, \text{slope}_m, ec_m)\)）上。在这两种情况下， \(\{Z_{g,m}\}^G_{g=1}\)形参都会分配到标准正态先验，这些先验相互独立，且与所有其他模型形参无关。投资回报率形参化会隐式地对 \(\beta_m\)引入先验分布；不过，此分布不再独立于 \((\alpha_m, \text{slope}_m, ec_m,
\{Z_{g,m}\}^G_{g=1})\)。
默认情况下，Meridian 将投资回报率先验分子 $IncrementalOutcome_m$ 定义为所有地理位置和时间段的总增量结果。不过，也可以使用 roi_calibration_period 和 rf_roi_calibration_period 实参将其定义为某个时间段子集期间的总增量结果。在某些特殊情况下，最好只考虑一个子集，例如，在使用涵盖 MMM 建模窗口内特定时间窗口的实验来校准投资回报率先验时。如需了解详情，请参阅 Media Mix Model Calibration with Bayesian Priors（使用贝叶斯先验进行媒体组合模型校准）的第 3.4 节。在大多数情况下，我们建议定义所有时间段的先验，并在制定更全面的策略时将所有可用的实验结果作为决策因素，如投资回报率先验和校准中所述。
具有覆盖面和频次数据的渠道
您可以通过进行如下设置，对具有覆盖面和频次数据的渠道进行相同的重新形参化：
$$
M_{g,t,n} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \text{Adstock}\left(
\left\{ r_{g,t-\ell,n} \cdot \text{Hill}\left( f_{g,t-\ell,n};\ ec^{(rf)}_n,
\text{slope}^{(rf)}_n \right) \right\}^L_{\ell=0}\ ;\ \alpha^{(rf)}_n \right)
\ .
$$
其他一切都相同，因此这里不再重复推导过程。
边际投资回报率
或者，您可以为边际投资回报率（而不是投资回报率）指定先验分布。
$$
\begin{alignat}{2}
\text{MarginalIncrementalOutcome}_m
&= \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m} \text{HillAdstock}\left(
\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m
\right) \right) \\
&\quad - \sum\limits_{g,t} L_g^{(y)-1} \left(\beta_{g,m}
\text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\right) \\
&= \sum\limits_{g,t} u_{g,t}^{(y)} p_g s \beta_{g,m} \biggl\{
\text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right) \\
& \hspace{8em} - \text{HillAdstock}\left(\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right) \biggr\} \\
&= \sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m}\ ,
\end{alignat}
$$
其中，$M_{g,t,m}$ 一词现在的定义如下：
$$
\begin{align}
M_{g,t,m} = u_{g,t}^{(y)} p_g s \biggl\{
&\text{HillAdstock}\left(\{1.01 \cdot x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;
\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m \right)\\
&- \text{HillAdstock}\left(
\{x_{g,t-\ell,m}\}_{\ell=0}^L;\ \alpha_m, ec_m, \text{slope}_m\right)
\biggr\} \ .
\end{align}
$$
$\beta_{g,m}$ 与 $\text{MarginalROI}_m$ 之间的关系可用以下等式表示：
$$
\begin{align*}
\sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{MarginalIncrementalOutcome}_m \\
&= \text{MarginalROI}_m \cdot (0.01 \cdot \text{Cost}_m) \\
&= \text{MarginalROI}_m \cdot
(0.01 \cdot \sum\limits_{g,t} \overset \sim x_{g,t,m}) \ .
\end{align*}
$$
如果您执行以下操作，则在边际投资回报率先验下，之前在投资回报率先验下提到的 \(\beta_m\) 等式仍然适用：
- 使用 \(M_{g,t,m}\)的此替代定义，并且
- 将 \(\text{ROI}_m\) 替换为 \(0.01 \cdot \text{MarginalROI}_m\)。
贡献率
$\beta_{g,m}$ 与 $\text{Contribution}_m$ 之间的关系可用以下等式表示：
$$
\begin{align*}
\sum\limits_{g,t}\beta_{g,m} M_{g,t,m} &= \text{IncrementalOutcome}_m \\
&= \text{Contribution}_m \cdot \text{ObservedOutcome} \\
&= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{y}_{g,t} \\
&= \text{Contribution}_m \cdot \sum\limits_{g,t} \tilde{u}^{[Y]}_{g,t}
\cdot \ddot{y}_{g,t}\ .
\end{align*}
$$
其他一切都与投资回报率先验相同。
